GEOMETRIA

PUNTO		Un punto sólo tiene posición en el espacio. Es la unidad indivisible de la geometría. No tiene dimensión (largo, alto, ancho)
LÍNEA	Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
			Línea recta Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta. Notación: ó
				Línea curva Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva. Notación:
Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.

		Rayo Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección. Notación:
				Trazo Línea segmentada, se caracteriza por dos puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud) Notación:
Plano
			Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor. El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.
La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo.

ANGULOS

Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice.

Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

a) Una letra mayúscula en el vértice.	b) Una letra griega o un símbolo en la abertura.	c) Tres letras mayúscula.

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

TIPOS DE ÁNGULOS Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se considera un ángulo positivo.

Tipo de ángulo Cóncavo 0° < <> Águdo 0° < <> Recto = 90° Obtuso 90° < <> Convexo 180° < <> Extendido = 180° Completo = 360° Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores.

PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos adyacentes	Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.
Ángulos consecutivos	Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.
Ángulos opuestos por el vértice	- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 y <4 - Son ángulos congruentes: <1 = <2 y <3 = <4
Ángulos complementarios	- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°. El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.
Ángulos suplementarios	- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°. El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas.		1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8
Ángulos alternos entre paralelas.		1 = 7 2 = 8 3 = 5 4 = 6
Son suplementarios	Ángulos contrarios o conjugados.	1 6 2 5 3 8 4 7
	Ángulos colaterales.	1 8 2 7 3 6 4 5

Poliedro

Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.
Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.
Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler

2. Prisma

Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.

Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases.
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:

En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.
Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.

Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la base
El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:
V = área de la base · altura
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

3. Poliedros Regulares

Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas
Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo lo es del octaedro:

Tetraedro
Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por tanto, una pirámide triangular:

Si las cuatro caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro regular.
El área de un tetraedro regular en función de su arista es:
A= a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3  /12

Cubo
Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.

El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.
El área total de un cubo de arista a es
A = 6a2
Su volumen es
V = a3
La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.

Octaedro
Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro regular, poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos:

El área de las caras de un octaedro en función de su arista, a, es:
A= 2a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3/3

Dodecaedro
Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:

El área de un dodecaedro de arista a es:

Su volumen es:
V = a3(15 + 7)/4

Icosaedro
Poliedro regular formado por veinte caras triangulares:

El área de un icosaedro es:

Su volumen es:
V = 5a3(3 + )/12

4. Buckminsterfullereno o Fullereno C60

Una forma natural o alotrópica del carbono. Durante muchos años se pensó que el elemento carbono existía en dos formas alotrópicas (o distribuciones distintas de los átomos), el diamante y el grafito. El diamante es un sólido en el que cada átomo de carbono se une a otros cuatro, y esta distribución se extiende por todo el cristal dando lugar a un sólido rígido y duro. En el grafito, los átomos de carbono se unen formando anillos hexagonales en láminas planas superpuestas, y el resultado es un sólido escurridizo. El carbono es uno de los elementos más investigados, por lo que fue una gran sorpresa el descubrimiento en 1985 de una familia entera de formas alotrópicas distintas, los fullereros. Este descubrimiento fue el resultado de las investigaciones sobre la formación de compuestos de carbono en el interior de las estrellas realizadas por el británico Harold W. Kroto, en colaboración con los estadounidenses Robert F. Curl y Richard E. Smalley; por ello, los tres científicos recibieron el Premio Nobel de Química en 1996.
El buckminsterfullereno, la forma alotrópica más conocida del grupo de los fullerenos, consiste en 60 átomos de carbono unidos para formar una molécula C60 de hexágonos y pentágonos dispuestos en forma casi esférica, como la envoltura de una pelota de fútbol. La molécula recibe ese nombre porque su estructura se parece a las elaboradas estructuras geométricas inventadas por el arquitecto estadounidense Richard Buckminster Fuller. Existen otros fullerenos que poseen más átomos de carbono y sus formas son versiones alargadas del buckminsterfullereno inicial (en forma de pelota). Con el aumento en la producción de buckminsterfullereno, se llegó a obtener una forma sólida, la fullerita. En este sólido amarillo transparente, las moléculas forman una especie de conjunto de balas de cañón en una distribución compacta. Ahora existen también versiones tubulares de fullerenos en forma sólida.
Originalmente se preparaba el buckminsterfullereno en un haz molecular y sólo podían conseguirse pequeñas cantidades. Sin embargo, pronto se vio que podían obtenerse grandes cantidades de moléculas en un arco eléctrico entre dos electrodos de carbono en atmósfera de helio. Actualmente se sabe que es probable que el buckminsterfullereno se forme en llamas tiznadas, y existe incluso la posibilidad de que abunde en el Universo, particularmente cerca de las estrellas rojas gigantes.
Cuando los fullerenos empezaron a ser abundantes, los químicos comenzaron a investigar sus propiedades. Se piensa que los fullerenos podrían dar origen a un nuevo campo de la química, del mismo modo que la química orgánica aromática surgió a raíz del descubrimiento del benceno 150 años atrás. Una de las propiedades más sorprendentes de los fullerenos es que se pueden introducir átomos de elementos en el hueco existente en la 'jaula' de átomos de carbono; así se puede obtener una versión de 'envoltura contraída' de cada elemento del sistema periódico. Cuando se introducen átomos de metal en los tubos tipo fullereno mencionados anteriormente, el material resultante es como un alambre aislado unidimensional. Otra propiedad importante es que ciertos compuestos de buckminsterfullereno (en especial el K3C60) son superconductores a bajas temperaturas. Se ha averiguado que los derivados del buckminsterfullereno son biológicamente activos y se están utilizando para atacar el cáncer: se cree que las moléculas en forma de pelota de fútbol pueden introducirse en los emplazamientos activos de las enzimas y bloquear su acción.

5. Pirámide

Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:

y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

Tronco De Pirámide
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

El área lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es:
Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies B y B’, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:

6. Triángulo

Polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos, si los tres lados son distintos.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

Triángulos Rectángulos
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
c2 = a · m, b2 = a · n

Alturas De Un Triángulo
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:
h2 = m · n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo.

Medianas De Un Triángulo
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.

El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:

Circunferencia Inscrita
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo.

Circunferencias Exinscritas
La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.

Circunferencia Circunscrita
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.

Área De Un Triángulo
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es:
A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c · hc
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de Herón:

en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo.

7. Teorema De Euler

Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:
C + V = A + 2

8. Teorema de Pitágoras

Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).
El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos:

o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto:

9. Formula De Herón

Fórmula que sirve para calcular el área, A, de un triángulo en función de sus lados, a, b, c:

siendo p el semiperímetro: p = (a + b + c)/2.
Por ejemplo, si los lados de un triángulo miden a = 7 cm, b = 11 cm, c = 8 cm, entonces el semiperímetro es p = (7 + 11 + 8)/2 = 13 cm y su área es:

LA PARABÓLA
Definiciones

i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.

ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.
Esto es:
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}
PD


fig. 6.1.1.

Observaciones:

i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.

ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.

El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.



6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola

En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)


fig. 6.1.2.

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .
Pero, y

Luego,

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,

(1)

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.

Por hipótesis, (2)

Se debe probar que









De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.


TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)

i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F

ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)

iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F


fig. 6.1.3.



fig. 6.1.4.



Observaciones:

i. En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), y =" -p/2."> 0) e izquierda (p < x =" -p/2." x =" x’" y =" y’"> 0) o hacia el semieje y negativo (si p <> 0) o hacia la izquierda (si p <> 0) ó hacia abajo (p < width="480" height="385">