CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 0.6632 radianes
EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 137.5099o
EJERCICIOS:
1) Convertir 82o a radianes. (1.4312 radianes)
2) Convertir 1.84 radianes a grados. (105.4242°)
3) Convertir 247o a radianes. (4.3110 radianes)
4) Convertir 4.06 radianes a grados.
Trigonometría
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
* Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
* Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
* Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Las funciones trigonométricas
Artículo principal: Función trigonométrica
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos.
Razones trigonométricas
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El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo \alpha \, , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
* El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
* El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
* La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Razones trigonométricas recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
Trigono d00.svg
* La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
* La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
* La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Otras funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
RadiánCircunferencia.svg SexaCircunferencia.svg
Circunferencia en radianes. Circunferencia en Grado sexagesimal.
Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
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Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
A \equiv O
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo \alpha \, sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
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Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo \alpha \,.
Si aumentamos progresivamente el valor de \alpha \, , las distancias \overline{CB} y \overline{ED} aumentarán progresivamente, mientras que \overline{OC} disminuirá.
Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.
El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.
Los segmentos: \overline{OC} y \overline{CB} están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero \overline{ED} no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo \alpha = 0,5 \pi \, rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia \overline{ED} será infinita.
El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.
Para un ángulo recto las funciones toman los valores:
\operatorname {sen} \frac{\pi}{2} = 1 \,
\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,
\tan \frac{\pi}{2} = \infty \,
Cuando el ángulo \alpha \, supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento \overline{CB} , el coseno aumenta según el segmento \overline{OC} , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo \alpha \, inferior a 0,5\pi \, rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5\pi \, rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente \overline{ED} por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo \alpha \, aumenta progresivamente hasta los \pi \, rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de \alpha \, , \overline{CB} , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para \alpha = 0,5 \pi \, rad, hasta que valga 0, para \alpha = \pi \, rad, el coseno, \overline{OC} , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para \alpha = 0,5 \pi \, rad, hasta –1, para \alpha = \pi \, rad.
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo \alpha = \pi \, rad a \alpha = 1,5 \pi \, rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para \pi \, rad:
Cuando el ángulo \alpha \, aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento \overline{OC} , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, \overline{CB} .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, \overline{ED} , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo \alpha \, alcance 1,5 \pi \, rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento \overline{CB} será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:
\tan \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha} {\cos \alpha}
que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo \alpha \, entre 1,5 \pi \, rad y 2 \pi \, rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 \pi \, rad:
\operatorname {sen} (1,5 \, \pi ) = -1 \,
\cos(1,5 \, \pi ) = 0 \,
\tan(1,5 \, \pi ) = \infty \,
hasta los que toman para 2 \pi \, rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
\operatorname {sen} (2 \, \pi ) = \operatorname {sen}\; 0 = 0 \,
\cos(2 \, \pi ) = \cos 0 = 1 \,
\tan(2 \, \pi ) = \tan 0 = 0 \,
como puede verse a medida que el ángulo \alpha \, aumenta, aumenta el coseno \overline{OC} en el lado positivo de las x, el seno \overline{CB} disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente \overline{ED} también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando \alpha \, , vale 2 \pi \, ó 0 \pi \, al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:
\operatorname {sen} \; \alpha = \operatorname {sen}(\alpha + 2 \, \pi \, n )
\cos \alpha = \cos (\alpha + 2 \, \pi \, n )
\tan \alpha = \tan(\alpha + 2 \, \pi \, n )
Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.
Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Identidades trigonométricas
Artículo principal: Identidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:
Recíprocas
\operatorname {sen} (\alpha) \cdot \csc (\alpha) = 1
\operatorname {cos} (\alpha) \cdot \sec (\alpha) = 1
\operatorname {tan} (\alpha) \cdot \cot (\alpha) = 1
De división
Trigono a00.svg
\tan (\alpha) = \frac {\operatorname {sen} (\alpha)}{ \cos (\alpha)}
Por el teorema de Pitágoras
Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que:
a^2 + b^2 = c^2 \,
de la figura anterior se tiene que:
\operatorname {sen} (\alpha ) = \frac {a}{c}
cos (\alpha ) = \frac {b}{c}
c = 1 \,
entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :
\operatorname {sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,
que también puede expresarse:
\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \,
1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \,
Teorema del seno
Es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces
\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}
Demostración
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}=2R.
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
Aplicación
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Relación con el área del triángulo
Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b, de modo que se cumple:
Area = \frac{ah}{2} = \frac{ab\,\operatorname{sen}\,C}{2}.
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
Area=\frac{ah}{2} = \frac{ab\,\operatorname{sen}\,C}{2}=\frac{abc}{4R}.
Teorema del seno
Teorema del coseno
Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\gamma)
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.[1
Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.[2] Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.[3]
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.
AB^2 = zCA^2 + CB^2 + 2\ CA\ CH
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[4] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.[5] [6] Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,[7] matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.[8]
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.[9]
[editar] El teorema y sus aplicaciones
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo \gamma \, es recto o, dicho de otro modo, cuando \cos\gamma = 0 \,, el teorema del coseno se reduce a:
\,c^2=a^2+b^2
que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.
Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
* el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.
* los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utlizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
\,cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos\gamma.
[editar] Demostraciones
[editar] Por desglose de áreas
Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de la demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
* a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
* ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
* En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
* En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
* En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que a^2+b^2 = c^2+2ab\, \cos\gamma, equivalente al Teorema del coseno.
Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra
* En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
* En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
* En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.
Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da \,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2, como queríamos demostrar.
[editar] Por el teorema de Pitágoras
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos
Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:
(left) c^2 = h^2 + u^2\,
Pero, la longitud h también se calcula así:
(left) h^2 = a^2 - (b-u)^2\,
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:
c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,
Por la definición de coseno, se tiene:
cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}
y por lo tanto:
u = b- a \,\cos\gamma\,
Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma
con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente c2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:
c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,.
De la definición de coseno, se tiene cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} y por tanto:
u = a\, \cos\gamma -b\,.
Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,.
Esto concluye la demostración.
Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.
[editar] Por la potencia de un punto con respecto a un círculo
Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un círculo.
Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho círculo es
AP\cdot AL=AC\cdot AK= AC (AC+CK).
Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que
AP\cdot AL = (c+a)(c-a) = c^2 -a^2.
Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que
AC(AC+CK) = b(b -2a\,cos(\gamma)).
Igualando las expresiones obtenidas se obtiene nuevamente c²=a²+b²-2ab cos(γ).
Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.
[editar] Por el cálculo vectorial
Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:
c^2\, =\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2
= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2
=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,
[editar] Generalización en geometrías no euclídeas
Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.
Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica
\,R = 1/\sqrt{|K|}.
Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:
\,a = BC/R,
\,b = AC/R,
\,c = AB/R.
En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de grande arco [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).
[editar] Geometría esférica
Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando
\,a <\!\!< 1,
esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo, :\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3), etc.
Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:
\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c
[editar] Geometría hiperbólica
En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe
\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma.
Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados
\,\sinh a = a + O(a^3), etc.,
\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3), etc.
[editar] Generalización en el espacio euclídeo
Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras y ángulos.
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio euclídeo, siendo:
\,\mathrm S_k la cara opuesta al vértice \mathrm A_k\ ;
\,s_k la superficie de \mathrm S_k\ ;
\,\Delta_k el plano que contiene a la cara \mathrm S_k\ ;
\,\theta_{ij} el ángulo diedral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.
(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).
Entonces, las superficies y ángulos verifican:
\,s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12}\,
- 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}\,.
Teorema del coseno
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