miércoles, 7 de julio de 2010

La circunferencia y círculo




1. Circunferencia
Si ponemos una moneda sobre el papel y pasamos un lápiz alrededor de su borde obtenemos una circunferencia. Con el compás también podemos dibujar una circunferencia. La aguja del compás es el centro.
La circunferencia es una curva cerrada de la que todos sus puntos están a la misma distancia del centro.







2. Elementos de la circunferencia.
Radio es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto de la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Equivale a dos radios.
El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Arco es una porción de la circunferencia.
La secante corta a la circunferencia en dos puntos.
La tangente toca a la circunferencia en un punto.
La recta que no toca a la circunferencia se llama exterior.



Observando este dibujo contesta a estas preguntas:

El punto O es...


El segmento OC es...


El segmento HR es...


El segmento AB es...


La línea t es...


La línea FG es...


La línea q es...


La parte de la circunferencia entre A y B es...


La parte de la circunferencia entre HABR es...


3.- El círculo

La circunferencia es una línea. El aro es un ejemplo de circunferencia.
El círculo es una porción de la superficie plana limitada por la circunferencia.
Tiene dos dimensiones. La cara de una moneda es un ejemplo de círculo.





4.- Elementos del círculo
El diámetro divide al círculo en dos semicírculos.
La parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama sector circular. Si el sector circular comprende la cuarta parte del círculo, se llama cuadrante.
La corona circular es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas (que tienen el mismo centro).
GEOMETRÍA ANALÍTICA.

La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

ANTECEDENTES HISTORICO.

En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa.

Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en primer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera revolución (fue comparada con la revolución industrial).

Mas tarde se vera surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: como algoritmo del infinito, y como instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales.

En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del calculo de la probabilidad y de la geometría proyectiva.

El advenimiento de la geometría analítica esta vinculado con el gran filósofo Rene Descartes (1596-1650).

La geometría analítica se conoce también con le nombre de geometría cartesiana.

En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.

El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se encuentra en la obra “geometrie” (1637), tratado de poco mas de cien paginas. Su aportación principal es la unificación de del álgebra con la geometría; su fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una línea.

El primer capitulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la geometría.

En el libro primer capitulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones geométricas.

Otro gran matemático fue Fermat (1601-1665) contemporáneo de Descartes, realizo trabajos relacionados con la geometría analítica en el año 1629 y cuya aproximación a la Geometría Analítica es mas exacta a la obra de descartes.

La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar ecuaciones con dos variables, considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas.

Rene Descartes y su famoso “DISCURSO DEL MÉTODO” es un tratado celebre para conducir bien las razón y buscar la verdad en las ciencias.

MODERNOS AVANCES.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

DISTANCIAL ENTRE DOS PUNTOS.

Las herramientas analíticas básicas son formulas para traducir los conceptos geométricos en ecuaciones y en expresiones algebraicas equivalentes.

Para determinar estas formulas, comenzaremos con el mas sencillo en la Geometría Analítica, de acuerdo con el teorema de Pitágoras.

EJEMPLO:

1)Demostrar que los cuatro puntos son vértices de un paralelogramo.

A)(0, -2.5)

B)(6, 0)

C)(3, 4)

D)(-3, 1.5)

Solución:

El cuadrilátero del problema es indicado en la figura siguiente:

Y C(3, 4)

D(-3, 2.5) B(6, 0)



0

A (0, -2.5)



Por la formula de distancia entre dos puntos, tenemos:

AB = (X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2 = " (6 - 0)2 + (0 - (-2.5))2

AB = " 62 + 2.52 = " 36 + 6025 = " 42.25 = 6.5

BC = " (3 - 6) + (4-0)2 = " -32 + 42 = " 9 + 16 = "25

BC = 5

CD = " (-3 -3)2 + (1. 5) = " -62 + 2.52 = " 36 + 6.25

CD = "42.25 = 6.5

AD = " (0 - 3)2 + (1.5 - (2.5)) = " -32 + 42 = " 9 + 16

AD = "25 = 5

2)Compruébese que el triangulo con los vértices en los puntos A(-4, 3), B(0, 2), C(2, -5) es obtusángulo.

A(-4, 3) y

B(0, 2)

x

C(2, -5)

AB = " (0 - (4))2 + (2 - 3)2

AB = " 42 - 12 = " 16 + 1 = "17

BC = " (2 - 0)2 + (-5 - 2)2 = "22 - 72 = "4 + 49 = "53

AC = "(2 - (-4)2 (-5 -3) 2 = "22 - 72 = " 4 + 49 = "53

AC = 10

3)Demostrar que los puntos A(3, -2), B(0, 4), C(-2, 8)son colineales, es decir, que esta sobre la misma línea.

Solucion:

AB = "(0 - 3)2 + (4 - (-2))2 = "-32 + 62 = "9 + 36

AB = "45 = "9(5) = 3 "5

BC = "(-2-0)2 +(8 - 4)2 = "-22 + 42 = "4 + 16

BC = "20 = "4(5) = 2"5

AC = "(-2 - 3)2 + (8 - (-2))2 = "-52 + 102 = "25 + 100

AC = "125 = "25(5) = 5"5

Sustituyendo obtenemos:

3"5 + 2"5 = 5"5

5"5 = 5"5, los puntos son colineales

AREA DE UN TRIANGULO.

Encontrar el arrea de un triangulo cuyos vértices son:

A(-2, 3) Y

B(-4, -1) A(-2,3)

C(3, -2)

B(-4, -1) X

C(3, -2)

Sustituyendo en:

A = ½ (X1 Y2 + X2Y3 + X3Y1 - X1 Y3 - X2Y1 - X3Y2)

A = ½ [(-2)(-1) + (-4)(-2) + (3)(3) - (-2)(-2) - (-4)(3) - (3)(-1)]

A = ½ (2 + 8 + 9 - 4 + 12 + 3) = ½ (30) A = 15U2

Usando determinantes se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:

X1 y1 1

A = ½ X2 y2 1

X3 y3 1

-2 3 1

-4 -1 1

½ 3 -2 1

-2 3 1

-4 -1 1

= ½ [(2 + 8 + 9) - (12 + 4 - 3)]

A = ½ [19 - (-11)] = ½ (19 + 11) = ½ = 15U2

AREA DE UN POLÍGONO.

La formula para contraer el área de un polígono de mas de tres lados, se expresan por un determinante de orden n.

X1 y1

A = ½ X2 y2

X3 y3

X4 y4

. .

Ejemplo:

Hallar el arrea del polígono cuyas coordenadas son los vértices:

A(1, 5)

B(-2, 4)

C(-3, -1) y

D(2, -3)

E(5, 1) (1, 5)

(-2, 4)

(5,1)

(-3, -1) X

(2, -3)

1 5

-2 4

A= ½ -3 -1 = ½ [(4 + 2 + 9 + 2 + 2 + 25)-(1 - 15 - 2 -12 -10)]

2 -3

5 1

1 5

A = ½ [42 - (-38)] = ½ (42 + 38) = ½ (80) = 40U2

1) Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P1(-1, -5) y P2(5, 4).

SOLUCION:

y2 - y1 4 -(-5) 9 3

M = ------- = --------- = --- = ---- = 1.5

X2 - x1 5 - (-1) 6 2

.

Inclinación P1 P2 = ángulo. Tangente 1.5 . . = 56° 18´35´´

2)Hallar el ángulo que forma con el eje X la recta que une los puntos A(-2, 1) y B(2, -3)

Solución:

y2 - y1 -3 - 1 -4

M = ------- = --------- = --- = -1

X2 - x1 2 -(-2) 4

Buscamos en las tablas trigonométricas el ángulo que corresponda a la tangente dada:

.

Inclinación AB = ang tan -1 180° - 45 . . = 135°

1) Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos A(-3, 1), B(4, -2) y C(2, 3) son los vértices de un triangulo rectángulo.

y C(2, 3)

A(-3, 1)

x

B(4, -2)

Pendiente de AC

3 - 1 2

M1 = --------- = ----

2 - (-3) 5

3 -(-2) 5

M2 = ---------- = - ----

2 - 4 2

PARTES DE UN SEGMENTO DANDO UNA RAZÓN.

La parte de un segmento puede ser exactamente a ala mitad, en este caso se utiliza la formula de punto medio, existen segmentos que sus cortes no están a la mitad; en estos casos se da una razón proporcional de la capacidad de un segmento, es decir cuantas veces cave este segmento en otro.

A(2, 5)

B(4, 2)

C(1, 1)

LADO 1 = (2 , 5)

LADO 2 = (4, 2)

LADO3 = (1, 1)

"(4 - 2)2 + (2 - 5)2

"(2)2 + (-3)2

" 13

= 3.6

AB = 3.6

BC = 3.1

CA = 4.1

PUNTO MEDIO.

1) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto A(7, 8), y su punto medio es P(4, 3). Hallar el otro extremo.

Solución:

A(7, 8) p(4, 3)

A(x1, y1) p(x, y) y B(x2, y2)

Sustituyendo los valores de estas coordenadas en la formula de punto medio. Obtenemos:

X1 + X2 7 + X2

X = ------- ; 4 = -------- ; 8 = 7 + X2 ; X2 = 8 - 7 = 1

2 2

y1 + y2 8 + y2

y = ------- ; 3 = --------- ; 6 = 8 + y2 ; y2 = 6 - 8 = -2

2 2

Las coordenadas del otro punto son B(1, -2)

Y

P(4, 3)

X´ X

B(1, -2)



FORMAS DE ECUACIÓN DE LA RECTA.

La línea recta como concepto matemático pertenece al grupo de los conceptos mas difíciles de definir.

Supongamos que la línea esta definida en el plano por las propiedades de sus puntos. Estudiaremos esta línea en el sistema de líneas

Cartesianas. Por las propiedades de los puntos que definen a la línea dada, se puede hallar la relacion en tres coordenadas x u y de sus punto y expresar la línea por una ecuación que relacionan las coordenadas (x, y) de sus puntos.

El caso mas simple es aquel en que los puntos trazados están sobre una recta. Si las dos cantidades relacionadas son “X” u “Y”, la relacion entre ellas se expresan por una ecuación de primer grado:

Y = mx + b

Una línea recta, analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado con dos variables.

La representación grafica de un lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado con dos variables es una recta.

Una recta queda determinada si se conocen dos condiciones:

*

Dos de sus puntos
*

Un punto y su dirección (declive, inclinación, pendiente o coeficiente angular)

ANGULOS DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA.

Si una recta corta al eje X su inclinación es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje de X. Se mide partir del eje de X, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de cero a 180°.

Y

R Y

R



0 X 0 X

El ángulo de inclinación de El ángulo de inclinación

la recta R es (agudo) de la recta R es

0° < < 90° (obtusa) 90° < 180°

Y Y

R

= 180°

R

= 90°

0 X 0

X

La recta R es paralela al eje La recta R es perpendicular

X y no lo corta, por lo tanto al eje X, su ángulo de

no se forma un ángulo inclinado. inclinación vale 90°.

PENDIENTE DE UNA RECTA.

En sentido común el declive de cualquier cosa en su inclinación o pendiente, cuanto es lo que lo que lo sube o baja con respecto a una línea horizontal de referencia.

Por definición la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.

CONDICIONES DE PARARLELISMO.

Dos o mas rectas son paralelas, si sus inclinaciones y por consiguientes, sus pendientes son iguales, es decir:

Y

m1 = m2

R1 R2 R3 R4

A B C

x

CONDICION DE PERPENDICULARIDAD.

Supongamos que AB BC y que la recta AB forma con el eje X un ángulo igual a 2 y la recta BC forma con el eje X un ángulo igual a 1.

90°

B

2

A

*

C

Verifíquese que el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(2, 6), B(5, 1), C(-1, -6) y D(-4, -1) es un paralelogramo.

Y A(2, 6)

B (5, 1)

D(-4, -1) X

C(-1, -6)

Solución: por las pendientes de los lados determinamos si la figura es un paralelogramo:

Pendiente de AB

Y2 - y1 1 - 6 5

M = ------- = ------- = - ---

X2 - x1 5 - 2 3

Pendiente BC

-6 - 1 -7 7

M = ---------- = ---- = ----

-1 - 5 -6 6

pendiente de CD

-1 -(- 6) 5

m = ---------- = - ---

-4 -(- 1) 3

Pendiente de AD

- 1 - 6 -7 7

M = ---------- = ----- = ----

- 4 - 2 -6 6

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN Y CUYA PENDIENTE ES m.

Fijando en la recta un punto cualquiera P(X, Y) y empleando la formula:

y

M = tan = ---

X

Donde despejando y ,obtenemos:

Y = mx

Es decir, una ecuación de primer grado respecto a las coordenadas variables de “X” u “Y”.

Y

P(X, Y)

y



0 X X

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMPLIFICADA.

Sea P(X, Y) un punto cualquiera de la recta B(0, b) el punto donde corta al eje Y y el ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje X. Por la definición de tangente se tiene:

Y - b

Tg = -----

X

Y P(X, Y)

Y - b



y

x

b

0 X

EJEMPLOS:

1) Determinar el ángulo y la ordenada en el origen de la recta

5x + 2y - 6 = 0.

Solución: despejando a “Y” en la ecuación, obtenemos la ecuación en función de sus pendiente:

5x + 2y - 6 = 0

2y = - 5x + 6

5

y = - --- X + 3

2

De la cual se deduce que el coeficiente angular es: m = - 5/2 y la ordenada al origen b = 3.

Con el valor de m es negativo, la recta forma un ángulo obtuso tal que:

5

= ángulo. Tang - ---

2

= 180° - 68° 12´ = 179° 60´- 68° 12´

= 111° 48´

Para graficar una recta, bastara con determinar otro punto, esto se logra asignándole un valor arbitrario a x en la ecuación y encontramos y, así:

Si x = 2 obtenemos

5 (2) + 2y - 6 = 0

2y = - 4

4 .

y = - --- . . y = - 2

2

Por lo tanto el punto es P(2, -2)

y

B(0, 3)

= 111° 48´

X

P(2, 2)

2) ¿Hay paralelas o perpendiculares entre las rectas representadas por la ecuaciones:

X - 3y + 1 = 0, 2x + 6y + 5 = 0 e -3x - y - 2 = 0

Despejado a Y en las ecuaciones, obtenemos las ecuaciones en funciones de sus pendientes:

X + 1 = 3y 2x + 5 = 6y - y = 3x + 2

2x + 5

x + 1 y = ------ y = - 3x - 2

Y = ------ 6

3 1 5

y = --- x + ---

1 1 3 6

y = --- x + ---

3 3 . 1 .

. . m2 = ---- . . m3 = -3

. 1 3

. . m1 = --

3

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

Toda ecuación de primer grado respecto a las coordenadas de (x, y), representa una recta, de forma:

Ax + By + C = 0

Supongamos que B " 0. Resolviendo la ecuación respecto a Y, se tiene:

A C

Y = - --- X - ---

B B

Comparando esta ecuación con la ecuación y = mx + b se tiene:

A

- --- = m = tan

B

C

- --- = b

B

Es decir, la ecuación Ax + By + C = 0 con B " 0. representa una recta de pendiente m = - A/B y el ordenada en el origen b = - C/B.

CASOS PARTICULARES.

Si c = 0, la ecuación general de la recta tiene la forma:

Y

R

Ax + By = 0

0

X

Y se representa una recta que pasa por el origen de los ejes coordenados, por las coordenadas del origen (0, 0) satisfacen a la ecuación.

EJEMPLOS:

1) Hallar las pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta:

3x + 2y = -6.

Solución: escribiendo la ecuación en la forma y = mx + b :

3

2x = - 3x - 6, y = - --- x - 3

2

3

su pendiente m = - ---

2

y su ordenada en el origen es b = -3

Si se escribe en forma Ax + By + C = 0, es decir :

3x + 2y + 6 = 0

La pendiente:

A 3

m = - --- = - ---

B 2

Y la ordenada en le origen:

C 6 .

B = - --- = - --- . . b = -3

B 2

2) Determinar el valor el valor del parámetro B de manera que la recta de la familia 3x - By - 7 = 0 que corresponde, sea perpendicular a la recta 7x + 4y - 11 = 0. Hallar B y escribir la ecuación.

Solución: escribamos la ecuación en la forma y = mx + b:

3x - by - 7 = 0 7x + 4y - 11 = 0

By = 3x - 7 4y = -7x + 11

3 7 7 11

Y = --- x - --- y = --- x + ---

B B 4 4

3 7

m1 = --- m2 = - ---

B 4

Por condición de perpendicularidad se tiene:

m1 . m2 = -1

Sustituyendo los valores de las pendientes, obtenemos :

3 7

(---) (- --- ) = -1

B 4

21 . 21

- ---- = -1 ; - 21 = - 48 . . B = ----

4B 4

21

Sustituyendo B = ---- en la ecuación original, obtenemos la ecuación

4

buscada:

21

3x - --- y - 7 = 0

4

multiplicamos por 4 ambos miembros y obtenemos:

12x - 21y - 28 = 0

3) encontrar la ecuación simétrica de la recta que tiene las siguientes coordenadas:
#

(2, 0) m.c.m. = 6
#

(0, 3)

x y

--- + ---

2 3

6x 6y

--- + --- = 1(6)

2 3

3x + 2y = 6

PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.

En el plano pueden darse tres casos distintos de posición relativa de la rectas.

Ax + By + C = 0 ....... R1

A´x + B´y C´= 0 ....... R2

R1 R1

R1 R2

R2

1 R2 2 3
#

Las rectas tienen un punto común, es decir, se interceptan.
#

Las rectas no tienen ningun punto común, son paralelas.
#

Las rectas tienen una infinidad de puntos comunes, coinciden.

1)Las rectas:

Ax + By + C = 0 …. R1

A´x + B´y + C´ = 0..... R2

Se cortan si:

AB´ - A´B " 0

EJEMPLOS:

Hallar el punto de las rectas:

3x + 4y - 18 = 0 ...... R1

4x - 3y + 1 = 0 ....... R2

SOLUCION:

3x + 4y - 18 = 0 3 4 de donde (3) (3) - (4) (4) " 0

9 - 16 = -7

4x - 3y + 1 = 0 4 3

Por lo tanto R1 y R2 se cortan en un punto P.

En efecto, multiplicando R1 por B´ y R2 por B y restando del primer producto el segundo, resulta:

9x + 12y - 54 = 0 12x + 16y - 72 = 0

16x - 12y + 4 = 0 - 12x + 9y - 3 = 0

------------------- -------------------

25x - 50 = 0 25y - 75 = 0

50 75

x = ---- x = ----

25 25

X = 2 Y = 3

El punto de intersección de las rectas dadas es P(2, 3). Para trazar una recta es suficiente hallar dos puntos de ella por medio de las coordenadas.

X


Y


Puntos.

6


0


A(6, 0)

-2


6


B(-2, 6)

R1) 3x + 4y - 18 = 0

-3x + 18

Y = ---------

4

X


Y


Puntos.

-1


-1


C(-1, -1)

5


7


D(5, 7)

R2) 4x - 3y + 1 = 0

4x + 1

Y = --------

3

Y

B(-2, 6)

R1

P(2, 3)

A(6, 0)

0 X

C(-1, -1)

ECUACION DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE DADA.

Si se conoce la pendiente de una recta y uno de sus puntos, se puede hallar su ecuación. Sea R una recta cualquiera, P1(X1, Y1) un punto conocido de ella, y m su pendiente. Fijemos P(X, Y), un punto cualquiera sobre la recta. Entonces por definición de una pendiente.

Y - Y1

------ = m

X - X1

Podemos pasar el denominador al segundo miembro y obtenemos:

y - y1 = m(X - X1)

Y

P(x, y)

R

P1(x1, x1)

*

X

EJEMPLOS:

3
#

Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es - --- y que

2

pasa por el punto (8, 7).

SOLUCIÓN:

Sustituyendo la formula tenemos:

y - y1 = m(X - X1)

3

y - 7 = - --- (x, 8)

2

Podemos multiplicar por 2 ambos miembros y pasar todos los termino al primer miembro para obtener:

2y - 14 = - 3(x - 8)

2y - 14 = - 3x + 24

3x + 2y - 38 = 0

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Si una recta esta determinada por dos puntos P1(X1, Y1) y p2(X2, Y2), la pendiente de la recta es:

Y2 - Y1

m = -------

X2 - X1

Sustituyendo el valor de la pendiente en la ecuación:

Y - y1 = m (x - x1) Y P2(x2, y2)

Obtenemos:

Y2 - y1

Y - y1 = -------- (x - x1)

X2 - x1 Y2 - y1

P1(x1, y1) x2 - x1

*

X

EJEMPLO:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(7, -3) y P2(-4, 1).

SOLUCION:

Sustituyendo en la formula tenemos:

1 - (-3)

Y - (-3) = --------- (x - 7)

- 4 - 7

4

y + 3 = - ---- (x - 7)

11

Multiplicando por 11ambos miembros de la igualdad, obtenemos:

Y

11y + 33 = - 4 (x - 7)

11y + 33 = - 4x + 28

4x + 11y + 5 = 0 P2(-4, 1)

0 X

P1(7, -3)

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Para hallar la distancia d de un punto P1(x1, y1) a la recta R dada por su ecuación x cos + y sen - p = 0, procedemos así.

Si la recta dada es: Ax + By + C = 0 se obtiene para la expresión de la distancia la formula:

Ax1 + By1 + C

D = --------------

± A2 + B2

EJEMPLO:

Hallar la distancia del punto A(-2, -3) a la recta 8x + 15y - 24 = 0.

SLUCION:

Del punto A sabemos que x1 = -2 e y1 = -3 y de la ecuación tenemos que A = 8, B = 15, C = -24. Sustituyendo estos valores en la grafica obtenemos:

(8)(-2) + (15)(-3) - 24 - 16 - 45 - 24 85 .

D = ------------------------ = ---------------- = ---- . . d = -5

82 + 152 289 17

Para graficar es suficiente hallar dos puntos

15y = - 8x + 24

X


Y


Puntos

3


0


A(3, 0)

0


24

---

15


B(0, 24)

---

15

-8x + 24

Y = ---------

24

Y

B(0, 24/15)

A(3,0)

X

D = -5

A(-2, 3)

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.

Es la determinada distancia entre la rectas paralelas AB y CD, cuyas ecuaciones son: Y = mx + b1 e y =mx + b2.

EJEMPLO:

Calcular las distancia entre las rectas paralelas cuyas ecuaciones son 3x - 4y + 10 = 0 y 3x - 4y + 20 = 0.

SOLUCION:

Despejamos a y en ambas ecuaciones obtenemos el valor de la pendiente y las ordenadas al origen:

4 = 3x + 10 ; 4y = 3x + 20

3x + 10

y = -------- ; 3x + 20

4 y = --------

4

3 5 3

y = --- X + --- ; Y = --- x + 5

4 2 4

3 5

De donde m = --- ; b1 = ---- y b2 = 5

*

2

Sustituyendo en la formula obtenemos:

b1 - b2 5/2 - 5 5/2 - 10/2

D = ----------- = ------------- = -----------------

± 1 + m2 ± 1 + (¾)2 ± 16/16 + 9/16

- 5/2 - 5/2 20

d = --------------- = ------------ = ± ----- = ± 2

± 25/16 ± 5/4 10

Pero la distancia siempre es positiva, será:

D = 2

Para graficar bastara con determinar dos puntos de cada una de las ecuaciones dadas:

3 5 3

Y = ---- x + --- Y = ---- x + 5

4 2 4

X


Y


Puntos

- 10/3


0


A(-10/3,0)

0


5/2


B(0, 5/2)

X


Y


Puntos

-20/3


0


C(-20/3,0)

0


5


D(0, 5)

Y

D(0,5)

B(0, 5/2)

D=2

C(-20/3,0) A(-10/3, 0) 0 X

CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia en la geometría es la curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.

'Geometrá analítica'

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA: FORMA ORDINARIA.

Una circunferencia esta determinada por su medida y su posición en el plano, si se conocen:

*

la longitud del radio es r
*

las coordenadas de centro C(h, k)

EJEMPLOS:

Determina el centro y el radio de la ecuación:

(x + 3)2 + (y - 20)2 = 4

C = (3, 20) r = 2

(5, 2) r = 3

C =(x + 5)2 + (y - 2)2 = 9

(-3, 10) r = " 8

(x, -3)2 + (y, 10)2 r = 8

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA.

1)Encontrar la ecuación de una circunferencia en la que los puntos A(-2, 1) y B(6, 5) son los extremos de uno de sus diámetros.

SOLUCION:

El centro de la circunferencia C es el punto medio del segmento AB. Las coordenadas del punto medio AB son:

-2 + 6 4 1 + 5 6

H = -------- = ---- = 2 ; K = ------ = ---- = 3

2 2 2 2

Las coordenadas son C(2, 2).

Y

R = "80/2

C(2, 3)

A(-2, 11)

0 X

La distancia AB es el diámetro de la circunferencia. Según la formula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

AB = " (6 + 2)2 + (5 - 1)2 = " 82 + 42 = " 64 +16

AB = " 80

Pero el doble del radio es igual al diámetro, de donde:

AB = 2r

" 80

2r = " 80 r = ---------

2

" 80 80

r2 = ( -------)2 = ---- .

2 4 . . r2 = 20

Sustituyendo los valores C(2, 3) y r2 en la formula de la circunferencia obtenemos la ecuación buscada.

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 20

Desarrollando los cuadrados de los binomios y reduciendo, resultado total:

X2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 - 20 = 0

X2 + y2 - 4x - 6y - 7 = 0

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA.

Para hallar los puntos de intersección de una circunferencia y una recta, hemos de resolver simultáneamente el sistema formado por las ecuaciones de las rectas dadas y la circunferencia. Las rectas cortan a la circunferencia en dos puntos, por lo tanto, hay dos soluciones, correspondientes a las coordenadas de los puntos A y B.

El sistema formado por las ecuaciones de la recta y la circunferencia puede tener:

*

Dos soluciones distintas, lo que indica que la recta es secante.
*

Dos soluciones distintas, lo que indican es tangente.
*

Si las dos soluciones son imaginarias la recta es exterior.

EJEMPLO:

Encontrar los puntos donde la recta x - y - 1 = 0 corta la circunferencia x2 + y2 = 25.

SOLUCION:

Hemos de resolver el sistema:

x2 + y2 = 25...... (1)

x - y - 1 = 0.... (2)

Despejando x en la ecuación lineal (2), sustituyendo en la ecuación (1) y resolviendo la ecuación de segundo grado, resulta:

X = y + 1 ................. (1)

(y + 1)2 + y2 = 25 Sustitución en (1)

y2 + 2y + 1 y2 = 25 Resolviendo el cuadrado del paréntesis.

2y2 + 2y - 24 = 0 Realizando operaciones y ordenada.

Y2 + y - 12 = 0 Dividiendo entre dos.

(y + 4 ) (y - 3) Resolviendo la ecuación cuadrática por factorización se tiene:

y + 4 = 0 ; y - 3 = 0

y1 = - 4 ; y2 = 3

sustituyendo y1 = -4 en la ecuación, obtenemos:

.

x1 = y + 1 = -4 + 1 . . x1 = -3

Las coordenadas del punto B(4, 3)

Por lo tanto, la recta es secante a la circunferencia.

x2 + y2 = 25 ....... (1)

3x - 4y + 25 = 0... (2)

Despejando a x en la ecuación (2) resulta:

4y - 25 .

X = ------- . . x = 4/3y - 25/3

3

Sustituyendo la ecuación en la ecuación (1), se tiene:

(4/3y - 25/3)2 + y2 - 25 = 0

9/9y2 + 16/9y2 -200/9y + 625/9 - 225/9

25/9y2 - 200/9y + 400/9 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática por la formula general, obtenemos:

-(200/9) ± " (-200/9)2 - 4 (25/9) (400/9)

Y = ---------------------------------------------

2(25/9)

200/9 ± " 40 000/81 - 40 000/81

y = -----------------------------------

50/9

200

y = ----

9 .

---------- = 2000/50 . . y = 4

50

-----

9

Sustituyendo y = 4 en la ecuación obtenemos:

4(4) - 25 16 - 25 .

X = ------------ = ---------- . . x = -3

*

3 Y

x- y + 10 =0

B(4, 3)

3x - 4y + 25 =0

X

A(-3, -4)

RECTA TANGENTE DE A UNA CIRCUNFERENCIA.

La recta t que es tangente a la circunferencia (x - h)2 + (y - k)2 =r2

En el punto de contacto p1(x1, y1).

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio r que pasa por el punto de contacto (punto de tangencia).

EJEMPLO:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

X2 + y2 + 2x - 2y - 39 = 0 en el punto t(4, 5).

SOLUCION:

La ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria es:

(x2 + 2x ) + (y2 - 2y ) = 39

x2 + 2x + 12 ) + (y2 - 2y - 12) = 39 + 12 + (-1)2

(x + 1)2 + (y - 1)2 = 41

El centro de la circunferencia es C (-1, 1); r = "41

La ecuación de la recta tangente en T(4, 5) es:

4 - (-1)

Y - 5 = - --------- (x - 4)

5 - 1

5

y - 5 = - ----- (x - 4)

4

4y - 20 = - 5x + 20 y

5x + 4y - 40 = 0

T(4, 5)

R ="41

C(-1, 1)

x

LA PARÁBOLA.

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un plano fijo (foco) y de la recta fija llamada directriz.

Según la definición, si F es el punto fijo, llamado foco y DD´es la recta fija, llamada directriz de la parábola, M es cualquier punto de la parábola MN, la perpendicular trazada del punto M a la directriz, se tiene:

MF = MN

Elementos de la parábola:

La perpendicularidad, trazada desde el foco a la directriz, es eje de simetría de la parábola.

La recta AA´ que pasa por F y es perpendicularidad a DD´ se le llama eje de la parábola (eje simetría).

El punto V, es el punto medio del segmento AF y se llama vértice de la parábola.

P = parámetro de la parábola.

BB´ = cuerda (segmento que une dos puntos cualesquiera de la para bola).

CC´= Cuerda focal (es una cuerda que pasa por el foco ).

MF = Radio focal o radio vector (es la distancia desde el punto M al foco).

LL´= Lado recto o ancho focal (es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría).

D Y

C B

L

M

N

A F A

X

P P



L

D´ B´

ELIPSE.

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya suma de distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Y

p

b

a

A F F A

O c X

C P´



PARTES DE LA ELIPSE:

FF´= es la distancia focal o eje de simetría.

B´= se llaman vértices son los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas.

PF´= se llaman radios vectores del punto P.

LL´= es el lado recto(es una cuerda perpendicular al eje de la elipse y que pasa por el foco).

PP´= es una recta que pasa por el centro de la elipse, se llama diámetro.

AA´= es el diámetro que pasa por los focos y se llama eje mayor o eje focal.

BB´= es el diámetro perpendicular al eje mayor y se llama eje menor.

LA HIPERBOLA.

Se le llama hipérbola el lugar geométrico puntos del plano cuya diferencia a dos puntos fijos llamados focos, es constante.

Y

B

M C L

P

D

A´ A

F´ F

O X

2a

D'



M´ L´



PARTES:

FF´= la distancia focal.

CC´= es el segmento que une dos puntos de una misma rama de la hipérbola es una cuerda.

LL´= es la longitud de una curda que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto.

DD´= una recta que une dos puntos de la hipérbola y pasa por el centro, es un diámetro.

AA´= la reta que pasa por los focos y corta a la curva en dos puntos que se llama eje focal.

BB´= es el llamado eje conjugado o imaginario, esta recta no cota la curva, por la tanto tiene vértices y carece de longitud.

A y A´= son los puntos de intersección del eje focal.

LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.

Toda ecuación de segundo grado con dos variables tiene la forma:

AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0

Una regla muy practica, mediante la cual podemos identificar una cónica, se lleva cabo cuando usamos el discriminante o indicador.

Se demuestra que si el discriminante:

B2 - 4AC < 0, la curva es una elipse.

B2 - 4AC = 0, la curva es una parábola.

B2 - 4AC > 0, la curva es una hipérbola.

EJMPLO:

1) 7X2 + 7Y2 + 2X - 5Y - 27 = 0

A = C , B = 0 (es una circunferencia)

2) 9x2 + 16y2 + 72x -128y = 0

A = 9 , B = 0 , C = 7

02 - 4(9)(7) = - 252 < 0 (es una elipse)

3) X2 - 4Y = 0

A = 1 , B = 0 , C = 0

02 - 4(1) (0) (es una hipérbola)

4) xy - y + x - 5 = 0

A = 0 , B = 1 , C = 0

(1)2 - 4(0)(0) = 1 > 0 (es una hipérbola)

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA.

EJEMPLOS:

2) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto P(8/3, 2).

Solución:

la distancia r = x2 + y2 =r2 se obtiene:

x2 + y2 = (10/3)2

x2 + y2 = 100/9

9x2 + 9y2 = 100

3)Hallar la ecuación de la circunferencia de centro.

C(2, - 2/3) y el radio igual a 7/2.

Solución:

C = (2, - 2/3)

R = 7/2.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

(x - 2)2 + (y + 3/2)2 = (7/2)2

Desarrollando los cuadrados de los binomios y reduciendo, resulta:

X2 - 4x + 4 y2 + 3y + 9/4 - 49/4 = 0

X2 - 4x + 4 + y2 + 3y - 10 = 0

X2 + y2 - 4x + 3y - 6 = 0

SISTEMAS DE COORDENADAS LINEALE.

Una de las propiedades mas importantes de los números R es el poderlos representar por puntos de la línea recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro, por lo comuna la derecha, para representar 1.

DISTANCIA ENTERE DOS PUNTOS DADOS POR SUS ABSISAS.

EJEMPLOS:

1) Hallar la distancia sobre el eje xx' entre los puntos A(4) y B(-5)

Solución:

D = AB = x2 - x1 = -5 -4 = -9 = 9

D = BA = x1 - x2 = 4 + 5 = 9

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

d = 9

2) La distancia entre dos puntos sobre el eje de XX´ es el 7. Si uno de los puntos es P2(-3), hallar el otro punto.

Utilizando la formula obtenemos:

D = -3 - x1

Como d = 7, sustituyendo obtenemos:

7 = -3 - x1

.

x1 = -3 -7 . . x1 = -10

P1 P2

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

d = 7

como d = 7 sustituyendo obtenemos:

7 = x1 + 3 .

x1 = 7-3 . . x1 = 4

-5 - 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d = 7


jueves, 22 de abril de 2010

DECIMO

conversion radianes a grados
CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes


EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099o





EJERCICIOS:

1) Convertir 82o a radianes. (1.4312 radianes)

2) Convertir 1.84 radianes a grados. (105.4242°)

3) Convertir 247o a radianes. (4.3110 radianes)

4) Convertir 4.06 radianes a grados.

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".[1]

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.


Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

* Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
* Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
* Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Las funciones trigonométricas
Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, y con aplicaciones en los campos más diversos.
Razones trigonométricas
Trigono b00.svg

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo \alpha \, , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

* El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,


* El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,



* La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,



Razones trigonométricas recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
Trigono d00.svg

* La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:


En el esquema su representación geométrica es:


* La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:



En el esquema su representación geométrica es:



* La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:



En el esquema su representación geométrica es:


Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Otras funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:


y es igual al seno de x, la función inversa:



x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:


y es igual al coseno de x, la función inversa:


x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:



y es igual al tangente de x, la función inversa:



x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

RadiánCircunferencia.svg SexaCircunferencia.svg
Circunferencia en radianes. Circunferencia en Grado sexagesimal.


Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Trigono c00.svg

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

A \equiv O

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo \alpha \, sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Trigono 000.svg
Trigono 001.svg
Trigono 002.svg
Trigono 003.svg

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo \alpha \,.



Si aumentamos progresivamente el valor de \alpha \, , las distancias \overline{CB} y \overline{ED} aumentarán progresivamente, mientras que \overline{OC} disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos: \overline{OC} y \overline{CB} están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero \overline{ED} no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo \alpha = 0,5 \pi \, rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia \overline{ED} será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

\operatorname {sen} \frac{\pi}{2} = 1 \,
\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,
\tan \frac{\pi}{2} = \infty \,





Cuando el ángulo \alpha \, supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento \overline{CB} , el coseno aumenta según el segmento \overline{OC} , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo \alpha \, inferior a 0,5\pi \, rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5\pi \, rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente \overline{ED} por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo \alpha \, aumenta progresivamente hasta los \pi \, rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de \alpha \, , \overline{CB} , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para \alpha = 0,5 \pi \, rad, hasta que valga 0, para \alpha = \pi \, rad, el coseno, \overline{OC} , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para \alpha = 0,5 \pi \, rad, hasta –1, para \alpha = \pi \, rad.



En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo \alpha = \pi \, rad a \alpha = 1,5 \pi \, rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para \pi \, rad:


Cuando el ángulo \alpha \, aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento \overline{OC} , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, \overline{CB} .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, \overline{ED} , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo \alpha \, alcance 1,5 \pi \, rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento \overline{CB} será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

\tan \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha} {\cos \alpha}

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.


En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo \alpha \, entre 1,5 \pi \, rad y 2 \pi \, rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 \pi \, rad:

\operatorname {sen} (1,5 \, \pi ) = -1 \,
\cos(1,5 \, \pi ) = 0 \,
\tan(1,5 \, \pi ) = \infty \,

hasta los que toman para 2 \pi \, rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

\operatorname {sen} (2 \, \pi ) = \operatorname {sen}\; 0 = 0 \,
\cos(2 \, \pi ) = \cos 0 = 1 \,
\tan(2 \, \pi ) = \tan 0 = 0 \,

como puede verse a medida que el ángulo \alpha \, aumenta, aumenta el coseno \overline{OC} en el lado positivo de las x, el seno \overline{CB} disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente \overline{ED} también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando \alpha \, , vale 2 \pi \, ó 0 \pi \, al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:

\operatorname {sen} \; \alpha = \operatorname {sen}(\alpha + 2 \, \pi \, n )
\cos \alpha = \cos (\alpha + 2 \, \pi \, n )
\tan \alpha = \tan(\alpha + 2 \, \pi \, n )

Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.


Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Identidades trigonométricas
Artículo principal: Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:
Recíprocas

\operatorname {sen} (\alpha) \cdot \csc (\alpha) = 1
\operatorname {cos} (\alpha) \cdot \sec (\alpha) = 1
\operatorname {tan} (\alpha) \cdot \cot (\alpha) = 1

De división
Trigono a00.svg

\tan (\alpha) = \frac {\operatorname {sen} (\alpha)}{ \cos (\alpha)}

Por el teorema de Pitágoras

Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que:

a^2 + b^2 = c^2 \,

de la figura anterior se tiene que:

\operatorname {sen} (\alpha ) = \frac {a}{c}

cos (\alpha ) = \frac {b}{c}

c = 1 \,

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

\operatorname {sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,

que también puede expresarse:

\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \,
1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \,

Teorema del seno

Es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}

Demostración

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}=2R.

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Aplicación

El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Relación con el área del triángulo
Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b, de modo que se cumple:

Area = \frac{ah}{2} = \frac{ab\,\operatorname{sen}\,C}{2}.

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

Area=\frac{ah}{2} = \frac{ab\,\operatorname{sen}\,C}{2}=\frac{abc}{4R}.


Teorema del seno



Teorema del coseno

Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\gamma)

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.[1


Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.[2] Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.[3]

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

AB^2 = zCA^2 + CB^2 + 2\ CA\ CH

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[4] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.[5] [6] Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,[7] matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.[8]

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.[9]
[editar] El teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo \gamma \, es recto o, dicho de otro modo, cuando \cos\gamma = 0 \,, el teorema del coseno se reduce a:

\,c^2=a^2+b^2

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.
Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar

* el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.

* los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utlizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'

\,cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos\gamma.

[editar] Demostraciones
[editar] Por desglose de áreas
Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de la demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

* a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
* ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

* En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
* En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
* En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que a^2+b^2 = c^2+2ab\, \cos\gamma, equivalente al Teorema del coseno.
Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra

* En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
* En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
* En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.

Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da \,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2, como queríamos demostrar.
[editar] Por el teorema de Pitágoras

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

(left) c^2 = h^2 + u^2\,

Pero, la longitud h también se calcula así:

(left) h^2 = a^2 - (b-u)^2\,

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,

Por la definición de coseno, se tiene:

cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}

y por lo tanto:

u = b- a \,\cos\gamma\,

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:

c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma

con lo que concluye la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente c2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:

c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,.

De la definición de coseno, se tiene cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} y por tanto:

u = a\, \cos\gamma -b\,.

Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,.

Esto concluye la demostración.

Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.
[editar] Por la potencia de un punto con respecto a un círculo
Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho círculo es

AP\cdot AL=AC\cdot AK= AC (AC+CK).

Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que

AP\cdot AL = (c+a)(c-a) = c^2 -a^2.

Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que

AC(AC+CK) = b(b -2a\,cos(\gamma)).

Igualando las expresiones obtenidas se obtiene nuevamente c²=a²+b²-2ab cos(γ).

Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.
[editar] Por el cálculo vectorial

Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:

c^2\, =\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2
= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2
=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,

[editar] Generalización en geometrías no euclídeas
Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.

Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica

\,R = 1/\sqrt{|K|}.

Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:

\,a = BC/R,
\,b = AC/R,
\,c = AB/R.

En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de grande arco [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).
[editar] Geometría esférica

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando

\,a <\!\!< 1,

esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo, :\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3), etc.

Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:

\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c


[editar] Geometría hiperbólica

En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe

\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma.

Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados

\,\sinh a = a + O(a^3), etc.,
\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3), etc.

[editar] Generalización en el espacio euclídeo
Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras y ángulos.

Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio euclídeo, siendo:

\,\mathrm S_k la cara opuesta al vértice \mathrm A_k\ ;
\,s_k la superficie de \mathrm S_k\ ;
\,\Delta_k el plano que contiene a la cara \mathrm S_k\ ;
\,\theta_{ij} el ángulo diedral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.

(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).

Entonces, las superficies y ángulos verifican:

\,s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12}\,
- 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}\,.


Teorema del coseno

GEOMETRIA

PUNTO
  • Un punto sólo tiene posición en el espacio.
  • Es la unidad indivisible de la geometría.
  • No tiene dimensión (largo, alto, ancho)
LÍNEA
  • Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
  • Línea recta

Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

Notación: ó

  • Línea curva
  • Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.

    Notación:

  • Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.
    • Rayo
  • Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección.

    Notación:

    • Trazo
  • Línea segmentada, se caracteriza por dos puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud)

    Notación:

  • Plano
    Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor.

    El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.

    La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo.




    ANGULOS

    Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice.

    Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

    a) Una letra mayúscula en el vértice. b) Una letra griega o un símbolo en la abertura. c) Tres letras mayúscula.

    SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

    Sistema sexagesimal

    Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal.

    Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.

    Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

    TIPOS DE ÁNGULOS

    Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se considera un ángulo positivo.

    Tipo de ángulo

    Cóncavo

    0° < <>

    Águdo

    0° < <>

    Recto

    = 90°

    Obtuso

    90° < <>

    Convexo

    180° < <>

    Extendido

    = 180°

    Completo = 360°

    Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores.

    PAREJA DE ÁNGULOS
    Ángulos

    adyacentes

    Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.
    Ángulos consecutivos Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.

    Ángulos opuestos por el vértice - Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 y <4

    - Son ángulos congruentes:

    <1 = <2 y <3 = <4

    Ángulos complementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.

    El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

    Ángulos suplementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.

    El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

    Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

    Tipos de ángulos formados

    Ángulos correspondientes entre paralelas.

    1 = 5

    2 = 6

    3 = 7

    4 = 8

    Ángulos alternos entre paralelas.

    1 = 7

    2 = 8

    3 = 5

    4 = 6

    Son suplementarios

    Ángulos contrarios o conjugados.

    1 6

    2 5

    3 8

    4 7

    Ángulos colaterales.

    1 8

    2 7

    3 6

    4 5





    Poliedro

    Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas y los vértices:
    Las caras son los polígonos que la limitan.
    Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
    Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras.
    Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.
    Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.
    Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler

    2. Prisma

    Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.

    Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases.
    Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
    Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:

    En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.
    Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.
    Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.

    Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es:
    Alat = perímetro de la base · altura
    El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
    Atot = área lateral + 2 · área de la base
    El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:
    V = área de la base · altura
    Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

    3. Poliedros Regulares

    Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
    Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
    Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
    Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
    Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30 aristas.
    Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas
    Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo lo es del octaedro:

    Tetraedro
    Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por tanto, una pirámide triangular:

    Si las cuatro caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro regular.
    El área de un tetraedro regular en función de su arista es:
    A= a2 Ö 3
    Su volumen es:
    V = a3  /12

    Cubo
    Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.

    El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.
    El área total de un cubo de arista a es
    A = 6a2
    Su volumen es
    V = a3
    La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
    El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.

    Octaedro
    Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro regular, poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos:

    El área de las caras de un octaedro en función de su arista, a, es:
    A= 2a2 Ö 3
    Su volumen es:
    V = a3/3

    Dodecaedro
    Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:

    El área de un dodecaedro de arista a es:

    Su volumen es:
    V = a3(15 + 7)/4

    Icosaedro
    Poliedro regular formado por veinte caras triangulares:

    El área de un icosaedro es:

    Su volumen es:
    V = 5a3(3 + )/12

    4. Buckminsterfullereno o Fullereno C60

    Una forma natural o alotrópica del carbono. Durante muchos años se pensó que el elemento carbono existía en dos formas alotrópicas (o distribuciones distintas de los átomos), el diamante y el grafito. El diamante es un sólido en el que cada átomo de carbono se une a otros cuatro, y esta distribución se extiende por todo el cristal dando lugar a un sólido rígido y duro. En el grafito, los átomos de carbono se unen formando anillos hexagonales en láminas planas superpuestas, y el resultado es un sólido escurridizo. El carbono es uno de los elementos más investigados, por lo que fue una gran sorpresa el descubrimiento en 1985 de una familia entera de formas alotrópicas distintas, los fullereros. Este descubrimiento fue el resultado de las investigaciones sobre la formación de compuestos de carbono en el interior de las estrellas realizadas por el británico Harold W. Kroto, en colaboración con los estadounidenses Robert F. Curl y Richard E. Smalley; por ello, los tres científicos recibieron el Premio Nobel de Química en 1996.
    El buckminsterfullereno, la forma alotrópica más conocida del grupo de los fullerenos, consiste en 60 átomos de carbono unidos para formar una molécula C60 de hexágonos y pentágonos dispuestos en forma casi esférica, como la envoltura de una pelota de fútbol. La molécula recibe ese nombre porque su estructura se parece a las elaboradas estructuras geométricas inventadas por el arquitecto estadounidense Richard Buckminster Fuller. Existen otros fullerenos que poseen más átomos de carbono y sus formas son versiones alargadas del buckminsterfullereno inicial (en forma de pelota). Con el aumento en la producción de buckminsterfullereno, se llegó a obtener una forma sólida, la fullerita. En este sólido amarillo transparente, las moléculas forman una especie de conjunto de balas de cañón en una distribución compacta. Ahora existen también versiones tubulares de fullerenos en forma sólida.
    Originalmente se preparaba el buckminsterfullereno en un haz molecular y sólo podían conseguirse pequeñas cantidades. Sin embargo, pronto se vio que podían obtenerse grandes cantidades de moléculas en un arco eléctrico entre dos electrodos de carbono en atmósfera de helio. Actualmente se sabe que es probable que el buckminsterfullereno se forme en llamas tiznadas, y existe incluso la posibilidad de que abunde en el Universo, particularmente cerca de las estrellas rojas gigantes.
    Cuando los fullerenos empezaron a ser abundantes, los químicos comenzaron a investigar sus propiedades. Se piensa que los fullerenos podrían dar origen a un nuevo campo de la química, del mismo modo que la química orgánica aromática surgió a raíz del descubrimiento del benceno 150 años atrás. Una de las propiedades más sorprendentes de los fullerenos es que se pueden introducir átomos de elementos en el hueco existente en la 'jaula' de átomos de carbono; así se puede obtener una versión de 'envoltura contraída' de cada elemento del sistema periódico. Cuando se introducen átomos de metal en los tubos tipo fullereno mencionados anteriormente, el material resultante es como un alambre aislado unidimensional. Otra propiedad importante es que ciertos compuestos de buckminsterfullereno (en especial el K3C60) son superconductores a bajas temperaturas. Se ha averiguado que los derivados del buckminsterfullereno son biológicamente activos y se están utilizando para atacar el cáncer: se cree que las moléculas en forma de pelota de fútbol pueden introducirse en los emplazamientos activos de las enzimas y bloquear su acción.

    5. Pirámide

    Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

    La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…
    Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

    El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:

    y el área total:
    Atot = Alat + Abase
    El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

    Tronco De Pirámide
    Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

    Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

    El área lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es:
    Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema
    El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies B y B’, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:

    6. Triángulo

    Polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos, si los tres lados son distintos.

    La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

    Triángulos Rectángulos
    Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
    Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
    a2 = b2 + c2
    Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
    c2 = a · m, b2 = a · n

    Alturas De Un Triángulo
    Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc.
    En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:
    h2 = m · n
    Esta relación se conoce como teorema de la altura.
    Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

    En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo.

    Medianas De Un Triángulo
    Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.

    El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:

    Circunferencia Inscrita
    Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo.

    Circunferencias Exinscritas
    La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.
    Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.

    Circunferencia Circunscrita
    Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.

    Área De Un Triángulo
    El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es:
    A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c · hc
    Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de Herón:

    en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo.

    7. Teorema De Euler

    Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.
    Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:
    C + V = A + 2

    8. Teorema de Pitágoras

    Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).
    El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos:

    o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto:

    9. Formula De Herón

    Fórmula que sirve para calcular el área, A, de un triángulo en función de sus lados, a, b, c:

    siendo p el semiperímetro: p = (a + b + c)/2.
    Por ejemplo, si los lados de un triángulo miden a = 7 cm, b = 11 cm, c = 8 cm, entonces el semiperímetro es p = (7 + 11 + 8)/2 = 13 cm y su área es:



    LA PARABÓLA
    Definiciones

    i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.

    ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.
    Esto es:
    PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}
    PD


    fig. 6.1.1.

    Observaciones:

    i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.

    ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.

    El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.



    6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola

    En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)


    fig. 6.1.2.

    Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .
    Pero, y

    Luego,

    Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,

    (1)

    Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.

    Por hipótesis, (2)

    Se debe probar que









    De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.


    TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)

    i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F

    ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)

    iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F


    fig. 6.1.3.



    fig. 6.1.4.



    Observaciones:

    i. En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), y =" -p/2."> 0) e izquierda (p < x =" -p/2." x =" x’" y =" y’"> 0) o hacia el semieje y negativo (si p <> 0) o hacia la izquierda (si p <> 0) ó hacia abajo (p < width="480" height="385">